В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 15, вписана окружность радиуса 1. Найдите стороны этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b.

Так как вписанная окружность имеет радиус 1, то касательная к этой окружности к каждой стороне треугольника делит эту сторону на два отрезка (пусть один из них равен x, а другой - y), причем x+y равно длине этой стороны. Таким образом, получаем, что стороны a и b можно представить в виде суммы отрезков x и y:

a = x + y

b = x + y

Также из того, что периметр треугольника равен 15, получаем:

a + b + c = 15

x + y + x + y + c = 15

2(x + y) + c = 15

2c = 15

c = 7.5

Так как радиус вписанной окружности равен 1, то точка касания окружности с катетом треугольника делит этот катет на два отрезка, равные радиусу окружности (1). Таким образом, x = 1 и y = 1.

Тогда подставляем x = 1 и y = 1 в выражения для a и b:

a = 1 + 1 = 2

b = 1 + 1 = 2

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника равны 2, 2 и 7.5.