Доказать что общая касательная двух касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть даны две касающиеся окружности с центрами O₁ и O₂ и точкой касания A.

Так как точка касания A лежит на обеих окружностях, то радиусы окружностей, проведенные к точке А, будут перпендикулярны касательным, проведенным к окружностям в точке А.

Таким образом, прямая OA₁ является перпендикуляром касательной к окружности с центром O₁ в точке А, а прямая OA₂ является перпендикуляром касательной к окружности с центром O₂ в точке А.

Так как прямые OA₁ и OA₂ являются радиусами окружностей, проведенные к их точке пересечения (точке касания), то они также являются их касательными. Следовательно, прямая, соединяющая центры окружностей O₁ и O₂, перпендикулярна к их общей касательной.

Таким образом, общая касательная двух касающихся окружностей перпендикулярна их линии центров.