Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Вычислить объём исходного конуса, если объём меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 16см3. V=.....см3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Объем конуса вычисляется по формуле V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Обозначим радиус меньшего конуса как r1 и его высоту как h1. Тогда объем меньшего конуса равен V1 = (1/3) π r1^2 * h1 = 16 см^3.

Так как плоскость, параллельная основанию и проходящая на расстоянии 2 см от вершины, пересекает исходный конус, то
r1 = r * (2/h) (по подобию треугольников)
h1 = h - 2 (так как оставшаяся часть высоты конуса равна h - 2)

Подставляем выражения для r1 и h1 в формулу для V1:

(1/3) π (r (2/h))^2 (h - 2) = 16
(1/3) π (4 r^2 / h^2) (h - 2) = 16
(4/3) π r^2 (h - 2) / h = 16
4 π r^2 (h - 2) / 3h = 16
4 π r^2 (h - 2) = 48h
4 π r^2 h - 8πr^2 = 48h
4 π r^2 * h - 48h = 8πr^2
h(4πr^2 - 48) = 8πr^2
h = 8πr^2 / (4πr^2 - 48)

Теперь подставляем выражение для h в формулу V = (1/3) π r^2 * h и найдем объем исходного конуса:

V = (1/3) π r^2 * (8πr^2 / (4πr^2 - 48))
V = 8π^2r^4 / (12πr^2 - 144)
V = 8πr^2 / (12 - 144/r^2)
V = 8πr^2 / (12 - 144/r^2)
V = 8πr^4 / (12r^2 - 144)

Таким образом, объем исходного конуса равен V = 8πr^4 / (12r^2 - 144) см^3.