В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат. Площадь шестиугольника равна D. Найдите сторону и площадь квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона шестиугольника равна а, а сторона квадрата - b.

Так как шестиугольник вписан в окружность, то радиус этой окружности будет равен стороне шестиугольника. Также, радиус окружности будет равен стороне квадрата плюс стороне шестиугольника (так как шестиугольник вписан в окружность).

Тогда у нас получается система уравнений
a =
a + b = R

Где R - радиус окружности.

Так как правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, то площадь шестиугольника равна 6 (площадь одного треугольника) = 6 (a^2 √3 / 4) = 6 a^2 √3 / 4 = 3 a^2 * √3.

Площадь квадрата равна b^2 = a^2 (так как a = b).

Таким образом, площадь шестиугольника D = 3 a^2 √3, а площадь квадрата равна a^2.

Теперь решим систему уравнений
a = b
a + b = R
где D = 3 a^2 √3.

Из первого уравнения следует, что a = b. Подставив это значение во второе уравнение, получаем
2a = R
a = R / 2.

Теперь подставим значение a в формулу для площади шестиугольника D
D = 3 (R^2 / 4) √3
D = 3 R^2 √3 / 4.

Итак, мы получили формулы для стороны и площади квадрата
сторона квадрата - a = R / 2
площадь квадрата - a^2 = (R^2 / 4).

Таким образом, сторона квадрата равна половине радиуса окружности, а площадь квадрата равна четверти квадрата радиуса окружности.