Точки M и H - середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Точка P не лежит в плоскости этой трапеции. Докажите, что прямая BC параллельна плоскости MPH.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку M и H - середины сторон AB и CD соответственно, то MH || AC и MH = 1/2 AC. Аналогично, так как M и H - середины сторон AB и CD, то MH || BD и MH = 1/2 BD.

Так как точка P не лежит в плоскости трапеции ABCD, то прямые MP и HP не лежат в этой плоскости. Таким образом, плоскость, проходящая через прямые MP и HP, параллельна плоскости трапеции ABCD.

Рассмотрим треугольники MPC и HPC. В этих треугольниках угол MPC равен углу HPC, так как они соответственно вертикальные углы. Угол M = углу H, так как они соответственно противоположные вершинные углы прямоугольников AMCB и HDAC. Угол MCP = углу HCP, так как это углы, образованные медианами треугольников MPC и HPC.

Таким образом, треугольники MPC и HPC подобны по преобразованию сторий, и, следовательно, BC || MP. Значит, прямая BC параллельна плоскости, проходящей через точки M, P и H.