Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 6 раз?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть S - исходная площадь поверхности пирамиды, S' - площадь поверхности пирамиды после уменьшения всех ее ребер в 6 раз.

Пусть a - длина стороны основания пирамиды, h - высота пирамиды, l - длина бокового ребра пирамиды.

Тогда S = S основания + S боковой поверхности, где

S основания = (a^2 √3) / 4,
S боковой поверхности = (a l) / 2.

P = 3a, где P - периметр основания.

Т.к. все ребра уменьшаются в 6 раз, то l' = l / 6, a' = a / 6.

Тогда S основания' = ((a/6)^2 √3) / 4 = (a^2 3) / 144,
S боковой поверхности' = ((a/6) (l/6)) / 2 = (a l) / 72.

Таким образом, S' = S основания' + S боковой поверхности' = (a^2 3) / 144 + (a l) / 72 = a(a / 48 + l / 72).

Так как при уменьшении ребер в 6 раз, высота пирамиды h' = h / 6.

Тогда a' = (3a) / 4, l' = ((a/2)^2 + (h/6)^2)^(1/2) = ((a^2 / 4) + (h^2 / 36))^0.5.

Подставив найденные значения a', l', S и S' в формулу, получим:

S/S' = 48 48 (1 / [48 + 72 [(a / 48) ((a^2 / 4) + (h^2 / 36))^0.5]]) = 48 48 (1 / [48 + 72 [(a / 48) a (3 / 4)^0.5]]) = 48 48 (1 / [48 + 72 [(3 / 4)^0.5]]) = 2304 / 72 = 32.

Итак, площадь поверхности пирамиды уменьшится в 32 раза.