Известно, что около четыреухгольника ABCD можно описать окружность и что продолжение сторон AD и Bc четырехугольника пересекаются в точке K.Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника ABCD. Пусть центр этой окружности — точка O.

Так как точка O является центром описанной окружности, то радиусы окружности, проведенные к точкам A, B, C и D, будут равны. Обозначим этот радиус как R.

Теперь рассмотрим треугольник KAB. Так как отрезки AD и BC пересекаются в точке K, мы можем применить теорему о правильных четырехугольниках и заключить, что отрезки AK, BK, CK и DK являются диаметрами окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Таким образом, отрезок KO будет равен R, равен радиусу описанной окружности.

Теперь рассмотрим углы KAB и KCD. Учитывая, что AB и CD — хорды окружности, и опираются на общую точку K, то соответствующие им центральные углы (углы, открывающиеся на этих хордах) также будут равны. Вернемся к тому, что отрезки AK, BK, CK и DK являются диаметрами. Таким образом, вертикальные углы, образованные этими хордами и диаметрами, тоже будут равны.

Итак, мы пришли к выводу, что треугольники KAB и KCD подобны.