Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основания трапеции через (a) и (b), где (a) - большее основание, (b) - меньшее основание. Тогда площадь трапеции равна (S = \frac{1}{2}(a+b)h), где (h) - высота трапеции.

Так как средняя линия трапеции делит её на две равные части, то получаем, что площадь верхней части трапеции равна (S_1 = \frac{5}{16}S) и площадь нижней - (S_2 = \frac{11}{16}S).

Площадь окружности, вписанной в трапецию равна (S_{\text{окр}} = \pi r^2), где (r) - радиус вписанной окружности.

Также, мы имеем соотношение площадей: (\frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{11}).

Тогда подставим все в формулу (S = \frac{1}{2}(a+b)h) и найдем выражение для радиуса вписанной окружности:

[\frac{5}{16}(a+b)h = \pi r^2]
[\frac{11}{16}(a+b)h = S]
[\frac{5}{11}S = \pi r^2]

Поделим одно уравнение на другое:

[\frac{\frac{5}{16}(a+b)h}{\frac{11}{16}(a+b)h} = \frac{\pi r^2}{S}]

[\frac{5}{11} = \frac{\pi r^2}{S}]

[\frac{5}{11} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}(a+b)h}]

[5 = \frac{2\pi r^2}{h} \cdot (a+b)]

Так как (S = \frac{1}{2}(a+b)h), то (a+b = \frac{2S}{h})

Подставим это в последнее уравнение:

[5 = \frac{2\pi r^2}{h} \cdot \frac{2S}{h}]

[5 = \frac{4\pi r^2S}{h^2}]

Также знаем, что площадь окружности равна:

[\frac{S}{2} = \pi r^2]

[\pi r^2 = \frac{S}{2}]

Подставим в уравнение и получим:

[5 = \frac{4S}{2h^2}]

[5 = \frac{2S}{h^2}]

[h^2 = \frac{2S}{5}]

Теперь трапецию разделяем на прямоугольный треугольник и прямоугольник.

Для правильного треугольника (a^2 = d^2 + \frac{h^2}{4}), где (d) - разность оснований.

[a^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + \frac{h^2}{4}]

[a^2 = \frac{a^2-2ab+b^2}{4} + \frac{2S}{5 \times 4}]

[4a^2 = a^2-2ab+b^2 + \frac{8S}{5}]

[3a^2+2ab-3b^2 = \frac{8S}{5}]

[3a^2+2ab-3b^2 = \frac{8 \times \frac{1}{2}(a+b)h}{5}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4(a+b)h]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4(a+b)\sqrt{\frac{2S}{5}}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4a\sqrt{2Sh}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4a\sqrt{2S\frac{2S}{5}}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4a\sqrt{\frac{4S^2}{5}}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 4a\frac{2S}{\sqrt{5}}]

[15a^2+10ab-15b^2 = \frac{8aS}{\sqrt{5}}]

[15a^2+10ab-15b^2 = 8a\sqrt{5}S]

[15a^2+10ab-15b^2 = 8a\sqrt{5} \times \frac{1}{2}(a+b)h]

[30a^2+20ab-30b^2 = 8a\sqrt{5}ah+8a\sqrt{5}bh]

[30a^2+20ab-30b^2 = 8a\sqrt{5}h(a+b)]

[30a^2+20ab-30b^2 = 8a\sqrt{5}h\frac{2S}{h}]

[30a^2+20ab-30b^2 = 16a\sqrt{5}S]

[15a^2+10ab-15b^2 = 8aS]

Если подставим все значения, то у нас есть уравнение:

[3a^2-10ab-7b^2 = 0]

Это уравнение дает 2 решения: (a = -\frac{1}{3}b) и (a = 2b).

Но так как (a > 0), то (a = 2b), а (a = 5), (b = 2.5).

Итак, длины оснований трапеции равны 5 и 2.5.