1.В сегмент круга радиуса R, ограниченный дугой в 60° и стягивающей ее хордой, вписана наибольшая окружность. Найдите ее радиус. 2.Найдите площадь сегмента, ограниченного хордой и дугой в 120°, если радиус окружности равен R.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения радиуса наибольшей вписанной окружности воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности из точки касания. Построим равнобедренный треугольник, вершина которого находится в центре окружности, а одно из боковых ребер совпадает с радиусом наибольшей вписанной окружности, а другое - хорда, стягивающая дугу в 60°. Угол при вершине треугольника равен 30°. Тогда, внутренний угол треугольника при основании равен 75°. Поскольку треугольник равнобедренный, угол при основании равен углу при вершине, то есть 30°. Теперь проведем высоту, которая разделит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Применяем тригонометрические вычисления и находим,
r = R sin(30°) = R 0.5.
Ответ: радиус наибольшей вписанной окружности равен R/2.

Для нахождения площади сегмента воспользуемся формулой для площади сегмента окружности:
S = R^2 / 2 * (alpha - sin(alpha)),
где R - радиус окружности, alpha - центральный угол в радианах.

Переведем угол в радианы: 120° = 120 * П / 180 = 2П / 3.

Подставим значения в формулу:
S = R^2 / 2 * (2П / 3 - sin(2П / 3)).

Теперь можно найти численное значение площади сегмента, используя значение радиуса R.