Дан тетраэдр ABCD, все ребра которого равны 12. Точка М — середина ребра BD, точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 7, считая от С. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри тетраэдра, если эта прямая проходит через точку Р параллельно прямой СМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек А, B, C и D. Пусть A(0, 0, 0), B(12, 0, 0), С(6, 3√3, 0), D(6, 3√3, 6√2).

Точка М является серединой ребра BD, поэтому ее координаты будут (9, 0, 3√2).

Так как точка P делит ребро AC в отношении 5:7, то мы можем найти координаты точки P
Px = (76 + 50) / 12 = 21/6 = 3.5
Py = (73√3 + 50) / 12 = 21√3 / 12 = 7√3 / 4
Pz = (70 + 50) / 12 = 0.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через P и параллельной МС
x = 3.5 + t
y = 7√3 / 4 + kt
z = 0.

Подставим координаты точек M и C в уравнение прямой и найдем t и k
9 = 3.5 + t
0 = 7√3 / 4 + kt
3√2 = 0.

Отсюда получаем t = 5.5, k = -2√3.

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости ABCD
x = 5.5
y = 7√3 / 4 - 2√3*5.5 = 7√3 / 4 - 11√3 = -4√3
z = 0.

С точками (5.5, -4√3, 0) и P(3.5, 7√3 / 4, 0) мы можем найти длину отрезка прямой, заключенного внутри тетраэдра, с помощью формулы расстояния между двумя точками в пространстве
d = √((5.5 - 3.5)^2 + (-4√3 - 7√3 / 4)^2 + 0^2) = √(2^2 + (-(16√3 + 7√3) / 4)^2) = √(4 + (9√3)^2 / 16) = √(4 + 243 / 16) = √(259 / 16) = √259 / 4.

Итак, длина отрезка прямой, заключенной внутри тетраэдра, равна √259 / 4.