Бисиктриса углов AD палеллограмм ABCD пересекаются в точке М лежаший на стороне BCнайти сторону палелограмма если его периметр равен 36 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AM = x, BM = y, CM = z.

Так как биссектриса делит угол на две равные части, то угол MAB = BAD = \angle BCD = \angle BAC = α.

Тогда углы в равнобедренном треугольнике ABC равны 90-α, 90-α, 2α.

Из равенства углов получаем равенство углов треугольников ABC и CDM, а именно углы у основаниях равнобедренных треугольников равны =>

\angle DCM = \angle MAC = \angle MBC = \alpha.

Периметр палеллограмма равен 2(AM+BM) = 2x + 2*y

Так же по теореме косинусов получаем соотношения:

x² + z² - 2xz*cos(2α) = y²

y² + z² - 2yz*cos(2α) = x²

Из этой системы, так же можно выразить x и y, и после выразить периметр через стороны палеллограмма:

2(x+y) = 2*z/(1 + cos(2α))

2(x+y) = 2*z / (1 + 2cos²(α) -1)

2(x+y) = 2z / 2(cos²(α))

(x+y)= z/cos(α) = BC

Итак, сторона палеллограмма равна BC = 36/2 = 18 см.