Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС втрое больше длины стороны АВ. найдите отношение площади четырёхугольника КРСМ к площади треугольника АВС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны треугольника АВС как а. Тогда длина стороны АС равна 3а.

Так как медиана ВМ треугольника АВС делит сторону ВС пополам, то ВК = КМ = а/2.

Также, так как биссектриса АР делит угол BAC пополам, то угол КАС равен углу КАВ и углу BAC. Таким образом, треугольники КАВ и КАС подобны, и мы можем записать пропорцию:

КС / КВ = СА / ВA
КС / (а/2) = 3а / а
КС = 3а/2

Итак, длина стороны КС равна 3а/2.

Теперь найдем площадь четырехугольника КРСМ. Так как ВМ - медиана, то площадь треугольника ВКМ равна площади треугольника ВМК, то есть S(KMVC) = S(KVA).

Так как треугольники КАВ и КАС подобны, S(KVA) / S(KAS) = BV / AS = 1/3.

Аналогично, S(KRA) / S(KAS) = AR / AS = 1/3.

То есть S(KVA) = S(KRA). Площадь четырехугольника КРСМ равна сумме площадей треугольников КСВ и КРА.

Таким образом, S(КРСМ) = S(КСВ) + S(КРА) = a/2 3а/2 + a/2 3а/2 = 9a^2/4

Теперь найдем площадь треугольника АВС. Площадь треугольника равна (1/2) основание высота, где высота проведена к основанию.

Таким образом, S(АВС) = (1/2) а (3а/2) = 3a^2/4.

Наконец, найдем отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Ответ: S(КРСМ) / S(АВС) = (9a^2/4) / (3a^2/4) = 9.