В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основанием AD и BC, сумма острых углов равна 90 градусов. Найдите площадь трапеции, если основание AD=2, BC=18.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O - точка пересечения диагоналей трапеции. Так как BD перпендикулярна AD и BC, то треугольники ABO и CDO - прямоугольные треугольники.

Пусть AB = a, CD = b, OD = y, BO = x. Тогда AD = 2, BC = 18.

Так как ABCD - трапеция, то AB || CD, следовательно, треугольники ABO и CDO подобны.

Из подобия треугольников ABO и CDO можно записать пропорцию:

AB/CD = AO/CO = BO/DO
a/b = (a+y)/(b+y) = x/y

С учетом данного уравнения:

a/b = (a+y)/(b+y)
a(b + y) = b(a+y)
ab + ay = ba + by
y(a - b) = ab
y = ab/(a - b)

По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках ABO и CDO:

OA² + OB² = AB²
x² + y² = a²
OC² + OD² = CD²
x² + y² = b²

Сложим два уравнения:

2x² + 2y² = a² + b²
2x² + 2(ab/(a - b))² = a² + b²
2x² + 2(a²b²/(a - b)²) = a² + b²

Разрешим уровнение относительно x:

2x²(a - b)² + 2a²b² = (a - b)²(a² + b²)
2a²x² - 2abx² + 2a²b² = a³ - a²b + ab² - b³
2ax² - 2bx² = a² - ab + b² - a² - b²
2x²(a - b) = 0
x = 0 или a = b

Так как x > 0, то a = b. Следовательно, AB = CD и ABCD - параллелограмм.

Пусть H — основание высоты, опущенная из вершины одного из острых углов на основанию, H ∈ AD.

Пусть a — сторона трапеции, c — боковая сторона, h — высота. Тогда h = x + y.

Сумма острых углов равна 90°, значит, трапеция ABCD — прямоугольная.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике можем записать:

h² = a² - x², h² = c² - y²

Таким образом:

h² = a² - x² = c² - y²
a² - x² = c² - y²
a² - (a² - b²) = 18² - (a² - b²)
a² - a² + b² = 18² - a² + b²
b² = 18²
b = 18

Так как AB = CD = b = 18, то AD = 2b = 36. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

S = (AD + BC) h / 2 = (36+18) (1818/36) / 2 = 54 9 = 486.

Ответ: площадь трапеции ABCD равна 486.