Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М, параллельна хорде АВ. ПОЖАЛУСТА С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка М делит хорду АВ пополам, то есть М - середина отрезка АВ. Проведем радиус ОМ и соединим точку О с точками А и В.

Так как радиус ОМ перпендикулярен хорде АВ и проходит через ее середину, то он также является высотой треугольника АОВ. Поскольку высота треугольника перпендикулярна основанию и делит его на две равные части, то треугольник АОМ равнобедренный.

Теперь рассмотрим треугольник АМС, где С - точка касания окружности с касательной, проходящей через точку М. Так как радиус и касательная, проведенные к одной и той же точке окружности, являются перпендикулярами к этой точке на окружности, то углы ОМС и СМА равны (как вертикальные). Но так как у треугольника АОМ углы ОАМ и МАО равны, то угол ОМС равен углу ОМА, и значит треугольники АМС и АОМ подобны.

Следовательно, угол МСА также равен углу ОАМ, который равен углу АОМ. Таким образом, угол МСА также равен углу АМО, и касательная параллельна хорде АВ.