В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр треугольника CBT, если АВ=21, BM=35, MD=9.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку биссектриса угла B делит сторону CD пополам и прямую AD пополам, то отрезки CT и TD равны между собой, как и отрезки AM и MD.

Таким образом, CD = 2CT и AD = 2AM.

Поскольку CT = TD, то CD = 2CT = 2TD = 4TD, а MD = AM, значит, AD = MD + AM = 2MD.

Отсюда следует, что AD = 2MD = 29 = 18.

Также из теоремы косинусов для треугольника BCA получаем
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcos(BAC)
BC^2 = 21^2 + 18^2 - 22118cos(BAC)
BC^2 = 441 + 324 - 756*cos(BAC).

Используем выражение для вычисления периметра треугольника CBT
Периметр CBT = CB + CT + BT
Периметр CBT = sqrt(BC^2 + BT^2) + 2CT
Периметр CBT = sqrt(441 + 324 - 756cos(BAC) + BT^2) + 2*CT.

Так как BM = 35, то AM = 18 нам уже известно, следовательно, BT = BM - AM = 35 - 18 = 17.

Также в прямоугольном треугольнике BCA по теореме Пифагора
BC^2 = AC^2 + AB^2
BC^2 = AC^2 + 441
AC = sqrt(BC^2 - 441).

Отсюда находим косинус угла BAC
cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / 2ABAC
cos(BAC) = (441 + (BC^2 - 441) - BC^2) / (221sqrt(BC^2 - 441))
cos(BAC) = 0.

Теперь можем найти периметр треугольника CBT
Периметр CBT = sqrt(441 + 324 - 7560 + 17^2) + 2CT
Периметр CBT = sqrt(441 + 324 + 289) + 2CT
Периметр CBT = sqrt(1054) + 2CT.

Поскольку CT равно половине CD, то CT = CD/2 = AD/4 = 18/4 = 4.5.

Итак, периметр треугольника CBT равен
Периметр CBT = sqrt(1054) + 2*4.5
Периметр CBT = sqrt(1054) + 9
Периметр CBT ≈ 35.99.