Теорема о трех прямых в пространстве.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема о трех прямых в пространстве утверждает, что три прямые в трехмерном пространстве либо взаимно пересекаются в одной точке, либо параллельны попарно.

Доказательство этой теоремы можно привести следующим образом:

Пусть даны три прямые l1, l2, l3 в пространстве. Рассмотрим два случая:

Прямые l1 и l2 пересекаются в точке A, причем точка A не лежит на прямой l3. Тогда прямая l3 пересекается с плоскостью, проходящей через прямые l1 и l2 в точке A. Таким образом, прямая l3 пересекается с прямыми l1 и l2 в разных точках, следовательно, прямые l1, l2, l3 не параллельны и пересекаются в одной точке.

Прямые l1 и l2 параллельны. Рассмотрим два случая:

Прямая l3 параллельна прямым l1 и l2. Тогда прямые l1, l2, l3 параллельны попарно и не пересекаются.

Прямая l3 пересекается с прямой l1 в точке A и параллельна прямой l2. Тогда прямые l1, l2, l3 тоже параллельны попарно и не пересекаются.

Таким образом, теорема о трех прямых в пространстве утверждает, что три прямые либо пересекаются в одной точке, либо параллельны попарно.