Плоскость а пересекает стороны AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, причем AC||а. Найдите AC, если BD:AD=5:4 и DE=10 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AC || а, то треугольники ADE и ABC подобны.

Из условия BD:AD=5:4 следует, что BD=5x, AD=4x, где x - некоторое число.

Также, из подобия треугольников следует, что DE//BC и DE=10 см. Тогда по пропорции DE:BC=AD:AC, откуда 10:BC=4:AC. Следовательно, BC=10AC/4=5AC/2=5/2*AC.

Так как ABCE - параллелограмм, то AC=BE. А также BE=BC-CE=5/2*AC-10.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. По теореме Пифагора:

$BD^2=BE^2+DE^2$

$(5x)^2=(5/2AC-10)^2+10^2$

$25x^2=25/4AC^2-50AC+100+100$

Упрощая:

$25x^2=25/4AC^2-50AC+200$

$x^2=1/4AC^2-2AC+8$

Поскольку треугольник ABC - прямоугольный, то из условия BD:AD=5:4 следует, что ABC - прямоугольный. Тогда мы знаем, что

$x^2=AC^2+AB^2$

$1/4AC^2-2AC+8=AC^2+AB^2$

$3/4AC^2+2AC=8$

$AC(3AC+8)=32$

$3AC^2+8AC=32$

$AC^2+8AC=32/3$

$(AC+4)^2=48/3$

$AC+4=2\sqrt{3}$

$AC=2\sqrt{3}-4$