Сторона АВ треугольника АВС равна 3. Противолежащий ей угол С равен 30 градусов. Найдите радиус окружности,описанной около этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину стороны BC треугольника ABC с помощью закона синусов:
BC/sin(∠A) = AB/sin(∠C)
BC/sin(60) = 3/sin(30)
BC = 3sin(60)/sin(30) = 3√3/2 = 3√3/2

Теперь найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности треугольника ABC равен половине произведения сторон треугольника, деленному на площадь треугольника:
R = (ABBCAC)/(4S)

Площадь треугольника ABC можно найти по формуле Герона:
S = √p(p-AB)(p-BC)*(p-AC), где p - полупериметр треугольника

p = (AB + BC + AC)/2 = (3 + 3√3/2 + AC)/2 = 3 + 3√3/4

S = √((3 + 3√3/4)(3 - 3√3/4)(3 - AC/2)*(3))
S = √((9 - 27/4)(9 - AC/2))
S = √(189 - 27AC/8)

R = (33√3/2AC)/(4√(189 - 27AC/8))
R = (9√3AC)/(8√(189 - 27AC/8))

Теперь найдем AC с помощью теоремы косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos(∠C)
AC^2 = 3^2 + (3√3/2)^2 - 233√3/2cos(30)
AC^2 = 9 + 27/4 - 9√3cos(30)
AC^2 = 9 + 27/4 - 9√3√3/2
AC^2 = 9 + 27/4 - 27/2
AC^2 = 36/4
AC = √9
AC = 3

Теперь подставим AC = 3 в формулу для радиуса описанной окружности:
R = (9√33)/(8√(189 - 273/8))
R = 27√3/(8√(189 - 81/8))
R = 27√3/(8√(171/8))
R = 27√3/(8√(171)/√8)
R = 27√3/(8√(171)/2√2)
R = 27√3/(4√171/√2)
R = 27√3√2/4√171
R = 27√6/(4√171)
R = 27√6/(4√(3319))
R = 27√6/(43√19)
R = 27/(4√19)
R = 27√19/76

Итак, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 27√19/76 ≈ 3.4.