Задача: Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна 4?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть обозначим основания трапеции как a и b, высоту как h, а длину диагонали как d.

Так как одна из диагоналей делит трапецию на два равнобедренных треугольника, то основания треугольника равны и равны половине оснований трапеции: (a = \frac{b}{2}).

Также из условия известно, что эта диагональ делит трапецию на два прямоугольных треугольника. Поэтому длины сторон треугольника равны половине диагонали: (h = \frac{d}{2}).

Теперь мы можем записать выражение для площади трапеции:
[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}]

Подставив известные нам значения, получим:
[S = \frac{(a + 2a) \cdot \frac{d}{2}}{2}]
[S = \frac{3a \cdot \frac{d}{2}}{2}]

Так как b = 2a, то b = 8. Теперь осталось найти длину диагонали d, используя теорему Пифагора:
[h^2 = (\frac{b - a}{2})^2 + d^2]
[4^2 = (\frac{8 - 4}{2})^2 + d^2]
[16 = 1 + d^2]
[d = 5]

Теперь подставляем все значения в формулу для площади трапеции и получаем:
[S = \frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{5}{2}}{2} = 15]

Итак, площадь этой трапеции равна 15.