На стороне BC остроугольного треугольника AB как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=363,MD=330,H - точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите HD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту треугольника ABC.

Заметим, что точка H является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, так как отрезки AC и BC - диаметры этой окружности.

Так как AD - высота треугольника ABC, и угол BAD - прямой, то треугольник ABD - прямоугольный.

Из прямоугольного треугольника ABD можно выразить длину BD
BD = √(AB² - AD²) = √(363² - 330²) = √(131769 - 108900) = √22869 = 151.

Теперь найдем длину отрезка HC. Так как H - точка пересечения высот треугольника ABC, она делит высоту AD в отношении 330:363.

HC / HD = AD / M
HC / HD = 363 / 33
HC = 363 * HD / 330.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то точка H также является центром окружности, описанной около треугольника ABM, и тогда теорема Пифагора для треугольника ABM дает: MB² + AB² = AM².

330² + 363² = AM
108900 + 131769 = AM
AM² = 240669
AM = √240669 = 490.

Теперь найдем длину MB
MB = √(AM² - AB²) = √(490² - 363²) = √(240100 - 131769) = √(108331) = 329.

Теперь давайте рассмотрим треугольник DHM. Так как DM - высота и D и H - проекции на отрезок BC, то легко видеть, что треугольники DHM и BHC подобны.

Тогда
HC / HD = BC / M
HC / HD = 2 BD / M
363 HD / 330 / HD = 2 151 / 33
363 = 2 15
363 = 302.

Таким образом, HD = 302.