В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов найдите высоту пирамиды?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора.

Сначала найдем длину боковой грани пирамиды при помощи прямоугольного треугольника, образованного боковой гранью, высотой и линией, проведенной от вершины пирамиды к середине основания.

По условию задачи, сторона основания равна 6 см. Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45 градусов, то прямой треугольник является прямоугольным, и катеты этого треугольника будут равны 6 см и (6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ) см.

Теперь найдем длину высоты пирамиды ( h ), которая проведена от вершины перпендикулярно к основанию.

Прямоугольный треугольник, образованный боковой гранью, высотой и линией, проведенной от вершины пирамиды к середине основания, также является прямоугольным. Пусть катеты этого треугольника равны ( h ) и ( \frac{1}{2}\times6 = 3 ) см.

Применим к треугольнику теорему Пифагора:

[ h^2 + (3\sqrt{2})^2 = h^2 + 18 = 9^2 ]

[ h^2 = 81 - 18 = 63 ]

[ h = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} ]

Таким образом, высота пирамиды равна ( 3\sqrt{7} ) см.