В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника , а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через a и b катеты треугольника, через c гипотенузу, через x и y стороны прямоугольника.

Так как угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, то прямоугольник является подобным треугольнику. Поэтому можно записать соотношения:

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{c}{a+b}$$

Также, из условия можно получить нашу равнобедренность треугольника:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Выразим c из этого уравнения:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Теперь заменим c в выражении для пропорций сторон прямоугольника и получим:

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a+b}$$

Отсюда, с учетом равенства периметра прямоугольника 2(x + y), можно утверждать, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.