Поскольку угол BAC = 60°, то угол ABC = 90° - 60° = 30°.
Так как AB + AC = 12 и угол ABC = 30°, то по теореме косинусовAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC * cos(30°)
AB^2 = AC^2 + BC^2 - AC BC sqrt(3)
Так как угол C прямой, то BC = sqrt( AB^2 + AC^2 )Подставим это в предыдущее уравнениеAB^2 = AC^2 + AB^2 + AC^2 - ACsqrt( AB^2 + AC^2 ) sqrt(3)
12 = 2 (2 AC^2 - AC^2 * sqrt(3))
12 = 2 * AC^2 (2 - sqrt(3))
AC^2 = 6 / (2 - sqrt(3)) = 6 (2 + sqrt(3)) / (2^2 - sqrt(3)^2) = 6 (2 + sqrt(3)) / (4 - 3) = 6 * (2 + sqrt(3))
AC = sqrt( 6 * (2 + sqrt(3)) )
Теперь подставим это в уравнениеAB^2 = 6 (2 + sqrt(3)) + 6 (2 + sqrt(3)) - 6 (2 + sqrt(3)) sqrt(3) = 12 + 6sqrt(3) + 12 + 6sqrt(3) - 18 - 9 = 6 + 12sqrt(3) - 9 = 6 + 12sqrt(3) - 9 = 3 + 12sqrt(3)
AB = sqrt( 3 + 12sqrt(3) ) = sqrt(3(1 + 4sqrt(3)) ) = sqrt(3) sqrt(1 + 4sqrt(3)) = sqrt(3) (2 + sqrt(3)) = 2sqrt(3) + 3
Ответ: AB = 2sqrt(3) + 3.
Поскольку угол BAC = 60°, то угол ABC = 90° - 60° = 30°.
Так как AB + AC = 12 и угол ABC = 30°, то по теореме косинусов
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC * cos(30°)
AB^2 = AC^2 + BC^2 - AC BC sqrt(3)
Так как угол C прямой, то BC = sqrt( AB^2 + AC^2 )
Подставим это в предыдущее уравнение
AB^2 = AC^2 + AB^2 + AC^2 - ACsqrt( AB^2 + AC^2 ) sqrt(3)
12 = 2 (2 AC^2 - AC^2 * sqrt(3))
12 = 2 * AC^2 (2 - sqrt(3))
AC^2 = 6 / (2 - sqrt(3)) = 6 (2 + sqrt(3)) / (2^2 - sqrt(3)^2) = 6 (2 + sqrt(3)) / (4 - 3) = 6 * (2 + sqrt(3))
AC = sqrt( 6 * (2 + sqrt(3)) )
Теперь подставим это в уравнение
AB^2 = 6 (2 + sqrt(3)) + 6 (2 + sqrt(3)) - 6 (2 + sqrt(3)) sqrt(3) = 12 + 6sqrt(3) + 12 + 6sqrt(3) - 18 - 9 = 6 + 12sqrt(3) - 9 = 6 + 12sqrt(3) - 9 = 3 + 12sqrt(3)
AB = sqrt( 3 + 12sqrt(3) ) = sqrt(3(1 + 4sqrt(3)) ) = sqrt(3) sqrt(1 + 4sqrt(3)) = sqrt(3) (2 + sqrt(3)) = 2sqrt(3) + 3
Ответ: AB = 2sqrt(3) + 3.