Обозначим AB = BC = a. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BN - медиана, а следовательно, и биссектриса. Пусть BN = h. Тогда AO = x и OD = y.
Из подобия треугольников AOM и BON получаемAO/BO = AM/BN = MO/NOПо условию, BO = 6k, NO = 5k, MO = 6k + 5k = 11k.
Из подобия треугольников OBN и OCR получаемOB/OC = ON/OR = BN/CROC = a, BN = h, CR = hПолучаем, что OB/a = 5/CR, или OB = a*5/h.
Таким образом, 6k = 5a/h и k = 5a/6h = NO/BN. Получаем, что NO = (1/2)h.
Из теоремы Пифагораh^2 + (a/2)^2 = a^2h^2 + a^2/4 = a^2h^2 = 3a^2/4h = a*sqrt(3)/2.
Из предыдущего равенства6k = 5a/(asqrt(3)/2)6k = 10/(sqrt(3)/2)6k = 20/sqrt(3)k = 20/(6sqrt(3))k = 10/sqrt(3) = 10*sqrt(3)/3.
Теперь находим AO и ODAO = 11k = 1110sqrt(3)/3 = 110sqrt(3)/3OD = 5k = 50sqrt(3)/3.
Итак, АО : OД = 110 : 50 = 11 : 5.
Обозначим AB = BC = a. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BN - медиана, а следовательно, и биссектриса. Пусть BN = h. Тогда AO = x и OD = y.
Из подобия треугольников AOM и BON получаем
AO/BO = AM/BN = MO/NO
По условию, BO = 6k, NO = 5k, MO = 6k + 5k = 11k.
Из подобия треугольников OBN и OCR получаем
OB/OC = ON/OR = BN/CR
OC = a, BN = h, CR = h
Получаем, что OB/a = 5/CR, или OB = a*5/h.
Таким образом, 6k = 5a/h и k = 5a/6h = NO/BN. Получаем, что NO = (1/2)h.
Из теоремы Пифагора
h^2 + (a/2)^2 = a^2
h^2 + a^2/4 = a^2
h^2 = 3a^2/4
h = a*sqrt(3)/2.
Из предыдущего равенства
6k = 5a/(asqrt(3)/2)
6k = 10/(sqrt(3)/2)
6k = 20/sqrt(3)
k = 20/(6sqrt(3))
k = 10/sqrt(3) = 10*sqrt(3)/3.
Теперь находим AO и OD
AO = 11k = 1110sqrt(3)/3 = 110sqrt(3)/3
OD = 5k = 50sqrt(3)/3.
Итак, АО : OД = 110 : 50 = 11 : 5.