Точки M и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причем BM = 3AM и CN = 3AN. Докажите, что MN || BC и найдите MN, если BC = 12см?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку BM = 3AM, то разделение отрезка AB происходит в отношении 1:3. Аналогично, разделение отрезка AC происходит в отношении 1:3.

Пусть точка M делит отрезок AB в отношении 1:3, то есть AM = x, BM = 3x.
Пусть точка N делит отрезок AC в отношении 1:3, то есть AN = y, CN = 3y.

Так как сумма длин отрезков AM и AN равна длине отрезка BC, то x + y = 12.
Также AM || BC и AN || BC, поэтому углы AMN и ABC соответственно равны. Аналогично, углы ANM и ACB равны, так как AN || BC и NM || BC, то и углы ANM и NMC равны.
Итак, у нас получилось 2 пары равных углов: AMN=ABC и ANM=ACB. Поэтому треугольник AMN подобен треугольнику ABC.

Из подобия треугольников AMN и ABC получаем, что отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон.
Так как MN || BC и треугольник AMN подобен треугольнику ABC, то отношение сторон треугольников равно отношению соответствующих сторон:
MN / BC = AM / AB = AN / AC = 1 / 4, так как AM = x = 1 / 4 * 12.

Отсюда MN = 1 / 4 * 12 = 3 см.

Итак, MN || BC и MN = 3 см, если BC = 12 см.