В треугольнике КМР проведены высоты ММ1, РР1 и КК1, пересекающиеся в точке Н. Найдите длину перпендикуляра НР1, если известно, что НК=8 см, НК1=6 см, РК1=8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о высотах треугольника, которая гласит, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника к его сторонам, пересекаются в одной точке - ортоцентре.

Из условия известно, что НК = 8 см, НК1 = 6 см, РК1 = 8 см. Для того чтобы найти длину перпендикуляра НР1, обозначим эту длину за х.

Так как в треугольнике РНК1 прямой угол, то РНК1 - прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

РН^2 = РК1^2 + НК^2
РН^2 = 8^2 + 8^2
РН^2 = 64 + 64
РН^2 = 128
РН = sqrt(128)
РН = 8√2

Как известно, перпендикулярные отрезки, проведенные из вершины треугольника к основанию, делят его на равные отрезки в соотношении 1:2. Значит, НР = 4√2.

Так как прямоугольный треугольник ПНР1 подобен треугольнику РК1К из-за общего угла, то НР1 будет равно 1/4 RH.

Таким образом, НР1 = 1/4 * 4√2 = √2.

Ответ: длина перпендикуляра НР1 равна √2 см.