Дан прямоугольный треугольник АВС, угол С=90 градусов, АВ+АС=20 см, АВ-АС=4 см. Найти расстояние от вершины А до прямой СВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину стороны AB как х. Тогда длина стороны AC будет (20 - х) см.

Так как угол C прямой, то точка C является основанием перпендикуляра к гипотенузе AB. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с гипотенузой как D.

Поскольку CD является высотой треугольника ABC, то все три треугольника ABC, ACD и BCD будут подобными.

Из подобия треугольников ABC и ACD получаем:
AB / AC = BC / DC,
x / (20 - x) = x / DC.

Из подобия треугольников ABC и BCD получаем:
AB / BC = AC / CD,
x / DC = (20 - x) / 4.

Решаем данную систему уравнений:
1) x / (20 - x) = x / DC,
2) x / DC = (20 - x) / 4.

Перепишем уравнение (2) как x = 20 DC / (DC + 4).

Подставляем полученное значение x из уравнения (1) в уравнения (2) и решаем полученное уравнение:

20 DC / (DC + 4) / (20 - 20 DC / (DC + 4)) = (20 - 20 DC / (DC + 4)) / 4.

20 DC / (DC + 4) / (20 (DC + 4) - 20 DC) / (DC + 4) = (80 - 80 DC / (DC + 4)) / 4.

20 DC / (16 DC + 80) = (80 - 80 DC / (DC + 4)) / 4.

80 DC = (160 - 80 DC) (DC + 4).

80 DC = 160 DC - 80 DC^2 + 640 - 320 DC.

80 DC^2 - 240 DC - 640 = 0.

DC^2 - 3 DC - 8 = 0.

(DC - 4)(DC + 2) = 0.

DC = 4 или DC = -2.

Так как DC является длиной, то DC = 4. Это означает, что точка D находится на расстоянии 4 см от вершины A по прямой AC.

Теперь, найдем расстояние от вершины A до прямой BC. По теореме Пифагора, BC^2 = AB^2 - AC^2 = x^2 - (20 - x)^2 = 80x - 400.

Подставляем найденное значение x = 4 и находим BC = 8 см.

Таким образом, расстояние от вершины A до прямой BC равно 8 см.