В треугольнике ABC проведена биссектриса BM.Точка K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. KM параллельна AB. Найти сторону AB, если BC = 12, AC = 17

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABC:

AB = x, BC = 12, AC = 17

Так как BM - биссектриса треугольника ABC, то AM = MC. Пусть AM = MC = y.

Также заметим, что треугольник BKM подобен треугольнику ABC по признаку угловой биссектрисы, так как угол ABK = угол MBK, а угол ABC = угол CBM. Значит, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны:

AB/KM = x/y

Так как KM параллельна AB, то угол KMA = угол BAM. Тогда угол BKM = углу ACB (из параллельности) = углу KMA. Тогда треугольник BKD равнобедренный (KB = KD).

Из того, что у tri. BMK угол M равен 90°, мы уже точно знаем и что данный к угол KMA равен 90° и равен углат ABC.

Найдем длину AM с помощью теоремы Пифагора для треугольников ABM и ВМС:

AB^2 + BM^2 = AM^2

x^2 + (12 - y)^2 = y^2

1304 - 24y + x^2 = 0

Аналогично, найдем длину AM с помощью теоремы Пифагора для треугольников AMC и ВМС:

AC^2 + CM^2 = AM^2

17^2 + (12 - y)^2 = y^2

353 + 24y = 0

Теперь можем решить систему уравнений:

1304 - 24y + x^2 = 0
353 + 24y = 0

24y = 951

y = 39.625

Теперь найдем x с помощью того же уравнения:

x = sqrt(1304 - 24*39.625) = 10.992

Итак, сторона AB треугольника ABC равна примерно 10.992.