Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. диагональ основания призмы 7√2 см. вычислите площадь диагонального сечения призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину боковой грани призмы. Так как угол между диагональю и стороной основания равен 45 градусов, то мы можем построить равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными стороне основания и боковой грани призмы. Таким образом,
(l = 7√2\ \cos(45^\circ) = 7 \ см.)

Теперь найдем площадь диагонального сечения призмы. Площадь сечения равна произведению полупериметра сечения (P) на высоту (h):
(S = P \cdot h = l + l + d + d \cdot \sqrt{2} = 2l + d(1+\sqrt{2}) = 2 \cdot 7 + d(1+\sqrt{2}) = 14 + d(1+\sqrt{2}))
Здесь (d) - длина диагонали сечения. Так как диагональ и сторона основания образуют прямой угол, то можем составить прямоугольный треугольник, в вершине которого расположена диагональ сечения, а катетами - диагональ и сторона основания:
(d = 7 + 7\sqrt{2}\ \tan(45^\circ) = 7 + 7\sqrt{2} = 7(1+\sqrt{2}) \ см.)

Итак, (S = 14 + 7(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2}) = 14 + 7(3+2) = 14 + 35 = 49 \ см^2).

Ответ: площадь диагонального сечения призмы равна 49 квадратным сантиметрам.