В правильной треугольной пирамиде апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол a. Найдите объем пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основание треугольной пирамиды как треугольник ABC, где BC – основание, а высота пирамиды h.

Треугольник ABC является прямоугольным, так как он является основанием треугольной пирамиды.

Тогда по определению апофемы прямоугольного треугольника
L = sqrt((BC/2)^2 + h^2)

Также, tan(a) = BC/(2h)

Отсюда, находим BC и h
BC = 2htan(a
h = BC/(2tan(a))

Подставляем h в формулу апофемы
L = sqrt((BC/2)^2 + (BC/(2*tan(a)))^2)

Преобразуем формулу, чтобы найти BC
L = sqrt((BC^2/4) + BC^2/(4tan(a))^2
L^2 = BC^2/4 + BC^2/(4tan(a))^
4L^2 = BC^2 + BC^2/tan(a)^
4L^2 = BC^2*(1 + 1/(tan(a))^2
BC^2 = 4L^2/(1 + 1/(tan(a))^2
BC = sqrt(4L^2/(1 + 1/(tan(a))^2)
BC = 2L/sqrt(1 + 1/(tan(a))^2
BC = 2L/cos(a)

Теперь, найдем площадь основания пирамиды
S_осн = 0.5 BC
S_осн = 0.5 2L/cos(a) BC/(2tan(a)
S_осн = L^2/(tan(a)cos(a))

Таким образом, объем треугольной пирамиды
V = S_осн h /
V = L^2/(tan(a)cos(a)) BC/(2tan(a))/
V = L^2/(tan(a)cos(a)) 2L/cos(a)/(23
V = L^3/(3tan(a))