В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD= 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD.

Так как М, N и Р являются серединами ребер тетраэдра, то МК = КН = НР, и следовательно треугольник МНК равнобедренный. Аналогично треугольники МРК и РКН равнобедренные. Таким образом, все три треугольника равнобедренные, следовательно, треугольник MNP также равнобедренный и МК = КН = НР = КП = ПМ.

Теперь рассмотрим четырехугольник, образованный пересечением плоскости MNP с треугольником АВС. Обозначим точку пересечения плоскости MNP с ребром AB как Q, с ребром ВС как T, с ребром CD как U, с ребром AD - K.

Так как MN = NP = MP, то угол МПН равен углам НПМ и МНП, следовательно, угол МПН равен 60 градусов. Аналогично, угол АВС равен 60 градусов, так как треугольник АВС равносторонний. Из этого следует, что угол МНП равен углу ВСА.

Таким образом, углы МПН и ВСА равны между собой и еще равны углу МНП. Следовательно, угол МНП также равен углу МКН равнобедренного треугольника МКН. Но тогда угол ВСА равен углу МКН и углу ВКМ.

Отсюда видно, что угол ВКМ равен 60 градусов, следовательно, треугольник ВКМ равносторонний и КВ = МК = НК = ПК = УК.

Таким образом, плоскость MNP проходит через середину К ребра AD.

Для нахождения периметра четырехугольника, образованного пересечением тетраэдра плоскостью MNP, нам нужно найти отрезки, соединяющие точки пересечения M с каждой из вершин четырехугольника.

Поскольку треугольники MNP, ВМК, КНР, НПУ равнобедренные и МК = КН = НР = ПК = УК, то получившийся четырехугольник является равносторонним и все его стороны равны КН = НП = ПМ = МУ = КМ.

Таким образом, периметр четырехугольника равен 5 КМ = 5 10 = 50 см.