В треугольнике ABC AC = 7, BC = 4. На стороне AB взята точка D, равноудаленная от сторон AC и BC. Найдите отношение площадей треугольников ADC и CDB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка D делит сторону AB в отношении x: (1-x).
Тогда AD = x 7, BD = (1-x) 4. Так как точка D равноудалена от сторон AC и BC, то AD = BD, следовательно получаем уравнение:
x 7 = (1-x) 4
7x = 4 - 4x
11x = 4
x = 4/11

Теперь найдем площади треугольников ADC и CDB:
Площадь треугольника ADC = (1/2) 7 x h1, где h1 - высота, проведенная из вершины C.
Площадь треугольника CDB = (1/2) 4 (1-x) h2, где h2 - высота, проведенная из вершины C.

Так как треугольники ADC и CDB общаются боковой стороной CD, то h1 = h2. Также заметим, что h1 + h2 = 7 = AC, при этом AD = BD.
Отсюда h1 = h2 = 7/2.

Подставляем найденные значения:
Площадь треугольника ADC = (1/2) 7 4/11 7/2 = 14
Площадь треугольника CDB = (1/2) 4 7/11 7/2 = 14/3

Отношение площадей треугольников ADC и CDB равно:
14 / (14/3) = 3.