Центр окружности радиуса R, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований. Найдите периметр трапеции,если один из ее углов равен 60.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b, а боковые стороны равны c и d. Обозначим высоту трапеции через h и радиус описанной окружности через R.

Так как центр окружности лежит на одном из оснований, то можно заметить, что треугольник, образованный радиусом и сторонами трапеции, является равнобедренным. Также, угол, противолежащий основанию трапеции, равен 60 градусам.

Зная, что основания трапеции равны, можно разбить трапецию на два равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Проведем высоту треугольника из вершины с углом 60 градусов. Получим два равных равнобедренных треугольника с углом в 30 градусов каждый.

Рассмотрим один из таких треугольников. Обозначим сторону треугольника, напротив угла в 30 градусов, через R, а катет треугольника (который равен радиусу описанной окружности), через r. Тогда, применяя тригонометрические функции, получаем:

r = Rcos(30 градусов) = Rsqrt(3)/2

Теперь рассмотрим нижнюю часть трапеции. Мы знаем, что стороны трапеции равны a, c, b, d. Таким образом, имеем:

a + b = 2r + 2R

Заметим, что a = b. Тогда:

a + a = 2r + 2R
2a = 2r + 2*R
a = r + R

Теперь найдем периметр трапеции:

P = a + b + c + d
P = 2r + 2R + c + d

Рассмотрим треугольник со сторонами r, R и c. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол между r и c равен 30 градусам. Тогда:

c = 2rsin(30 градусов) = R

Аналогично, можно показать, что d = R. Подставим значения:

P = 2r + 2R + R + R = 3r + 4R
P = 3(Rsqrt(3)/2) + 4R = 3Rsqrt(3)/2 + 4R = R(3sqrt(3)/2 + 4)

Таким образом, периметр трапеции равен R(3sqrt(3)/2 + 4).