Длина медианы СМ треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и АВ в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24 см2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка М - середина стороны AC, тогда из условия диаметр SM - медиана, и мы знаем, что медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника. Таким образом, площадь треугольника AMS равна площади треугольника CMS, то есть они равны 24 / 2 = 12 см^2.

Так как треугольник CMS - прямоугольный, то найдем его высоту из формулы площади прямоугольного треугольника: 1/2 c h = 12.
где c - гипотенуза, h - высота, тогда 1/2 5 h = 12, h = 12 / 2.5 = 4.8 см.

Теперь найдем периметр треугольника АВС по формуле площади треугольника: S = 1/2 m h, где m - медиана, h - высота треугольника. Подставляем известные значения: 24 = 1/2 5 h, h = 24 / 2.5 = 9.6 см.

Теперь найдем периметр треугольника АВС по формуле: p = a + b + c, где a, b, c - стороны треугольника. Так как треугольники AMS, CMS и АВС подобны, то отрезки, приходящиеся на медианы треугольника, делят его стороны в отношении 2:1. То есть сторона АВ равна 2 4.8 = 9.6 см, и площадь треугольника САВ равна: S = 1/2 5 9.6 = 24 см^2. Значит, условие выполнено. Таким образом, периметр треугольника АВС равен 2 9.6 + 5 = 24.2 см.