Периметр квадрата, описанного возле окружности, равны 16 дм. . Найдите периметр правильного треугольника, уписанного в эту окружность.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Периметр квадрата равен 4a, где a - сторона квадрата.
Из условия задачи известно, что периметр квадрата равен 16, следовательно 4a = 16 => a = 4.
Так как сторона квадрата равна диаметру окружности, то диаметр окружности равен 4 дм, а радиус равен 2 дм.

По свойству описанного вокруг окружности квадрата, диагональ квадрата равна диаметру окружности, следовательно, диагональ равна 4 дм.
Заметим, что диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Теперь находим высоту правильного треугольника, упрямоугольного с гипотенузой - радиусом окружности.
По теореме Пифагора:
r^2 = x^2 + x^2,
r^2 = 2x^2,
2 = r^2/x^2,
x^2 = r^2/2,
x = r/√2.
Так как r = 2, то x = 2/√2 = 2√2/2 = √2.

Периметр правильного треугольника равен:
2 x + 2 x + 2 r =
2 √2 + 2 √2 + 2 2 =
4√2 + 4 + 4 =
4(√2 + 1 + 1) =
4(√2 + 2) =
4√2 + 8 =
округляем до сотых

Периметр правильного треугольника, уписанного в эту окружность, равен 10.83.