Докажите,что сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы по теореме пифагора

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c будем иметь следующие соотношения:

Медиана катета a равна 1/2 √(2b^2 + 2c^2 - a^2)
Медиана катета b равна 1/2 √(2a^2 + 2c^2 - b^2)

Сумма квадратов медиан будет равна:

(1/2 √(2b^2 + 2c^2 - a^2))^2 + (1/2 √(2a^2 + 2c^2 - b^2))^2
(1/4) (2b^2 + 2c^2 - a^2) + (1/4) (2a^2 + 2c^2 - b^2)
1/2 * (a^2 + b^2 + 2c^2)

По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2, поэтому:

1/2 (c^2 + 2c^2)
3/2 c^2

Таким образом, сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 3/2 квадрата гипотенузы по теореме Пифагора.