1. Даны координаты вершин треугольника АВС : А ( –6; 1), В (2; 4), С (2; –2). Доказать, что треугольник АВС равнобедренный. Найдите длину высоты треугольника АВС, проведённую из вершины А.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длины сторон треугольника АВС:

AB = √((2-(-6))^2 + (4-1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73

AC = √((2-(-6))^2 + (-2-1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73

BC = √((2-2)^2 + (4-(-2))^2) = √(0^2 + 6^2) = √36 = 6

Таким образом, длины сторон AB и AC равны, что говорит о том, что треугольник равнобедренный.

Для нахождения длины высоты проведенной из вершины А воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через стороны и высоту:

S = 0.5 AB h

где AB - основание, h - высота.

Площадь треугольника можно также выразить через координаты вершин:
S = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
где x1, x2, x3 - x-координаты вершин, y1, y2, y3 - y-координаты вершин.

Подставим значения координат вершин и площадь треугольника:

S = 0.5 |(-6)(4-(-2)) + 2((-2)-1) + 2(1-4)| = 0.5 |(-6)(6) + 2(-3) + 2(-3)| = 0.5 |-36 - 6 - 6| = 0.5 |-48| = 24

Теперь найдем высоту, используя формулу для площади:

24 = 0.5 √73 h
48 = √73 * h
h = 48 / √73

Таким образом, длина высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А, равна 48 / √73.