В круг радиуса R вписана трапеция. Одно основание трапеции служит диаметром описанной окружности, а другое отсекает от этой окружности дугу а. Найти площадь трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB и CD – основания трапеции, причем AB – большее основание, CD – меньшее основание.

Пусть O – центр описанной окружности, а OC – радиус описанной окружности.

Так как AB – диаметр описанной окружности, то OB = OA = OC = R.

Также у нас есть информация, что радиус описанной окружности делит дугу AB на две равные части. Значит, дуга АС также равна a.

Обозначим через AC высоту трапеции на большем основании, а через BD высоту трапеции на меньшем основании. Тогда у нас есть равенство треугольников AOC и BOD по стороне, общей AC и радиусу OC, по двум равным радиусам OC и BD и общему углу в вершине (так как треугольники треугольники равны), поэтому угол BOD равен углу AOC, и, следовательно, угол BOC равен углу AOD.

Таким образом, у нас есть параллельные AC и BD и равные попарно углы у оснований трапеции. Значит, трапеция – равнобедренная.

Из равенства углов BAD и BCA следует, что треугольники ABD и ACB подобны. Так как AB – диаметр описанной окружности, значит, у треугольника ABC угол в вершине равному основанию равен 90 градусам.

Пусть AC = h1, BD = h2. Тогда h1 = 2R sin(a/2), h = 2R sin(b/2).

Таким образом, площадь трапеции равна:

S = (h1 + h2) R / 2 = (2R sin(a/2) + 2R sin(b/2)) R / 2 = R^2 * (sin(a/2) + sin(b/2)).

Таким образом, площадь трапеции равна R^2 * (sin(a/2) + sin(b/2)).