В параллелограмме abcd биссектриса угла a пересекает сторону bc в точке e. Найдите стороны ab и ad, если be : ec = 3 :2 и периметр abcd равен 48 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны параллелограмма abcd равны a и b, так что ab = a, bc = b, da = c, cd = d. Пусть be = 3x и ec = 2x.

Так как e - точка пересечения биссектрисы угла a и стороны bc, то по теореме биссектрисы имеем, что:

ae/ec = ab/bc
(a + 2x)/2x = a/b
a + 2x = 2a/b
b = 2a/(a + 2x) (1)

Так как abcd - параллелограмм, то ab = cd и bc = ad, следовательно, a + c = 2a и b + d = 2b

Имеем периметр параллелограмма abcd:

2a + 2b = 48
a + b = 24
a = 24 - b (2)

Подставим выражение (2) в выражение (1):

b = 2(24 - b)/(24 - b + 2x)
b = 48 - 2b/24 + 2x
b(24 + 2x) = 48(24 - b)
24b + 2bx = 1152 - 48b
72b = 1152 - 2bx
72b + 2bx = 1152
b(72 + 2x) = 1152
b = 1152/(72 + 2x)
b = 16/x

Из условия задачи знаем, что b = 24 - a, следовательно:

16/x = 24 - a
a = 24 - 16/x

Так как a + c = 2a, то:

24 - 16/x + c = 2(24 - 16/x)
24 - 16/x + c = 48 - 32/x
c = 24 + 32/x - 48

Теперь найдем, что:

a + b + c + d = 48
24 - 16/x + 24/x + 32/x - 48 = 48
24 + 8/x = 48
8/x = 24
x = 3

Теперь найдем длины сторон паралелограмма abcd:

b = 16/3
а = 24 - 16/3 = 24/3 - 16/3 = 8/3

Таким образом, ab = 8/3 см и ad = bc = 16/3 см.