Две стороны треугольника равны 3 и 6. Сумма высот в три раза больше периметра. Найти третью сторону треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть третья сторона треугольника равна х.

Тогда по условию задачи получаем, что сумма высот равна 3(6+3+х) = 27+3х.

Так как одна сторона равна 3, а другая 6, то площадь S треугольника равна S = 0.53h1 + 0.56h2 = 0.53h1 + 0.56h2 = 0.5*27 = 13.5.

Так как площадь треугольника также можно выразить через формулу S = 0.5absinC, где a, b и c - стороны треугольника, а C - угол между этими сторонами, то S = 0.536sinC = 9*sinC.

Отсюда следует, что sinC = 3/4.

Так как третья сторона треугольника х, то S = 0.536sinC = 36sinA/2 = 9sinA/2 = 9sqrt(1 - cos^2(A))/2 = 9sqrt(1 - (2cos^2(A) - 1))/2 = 9sqrt(2 - 2cos^2(A))/2 = 9sqrt(2 - 2(1 - sin^2(A)))/2 = 9sqrt(2 - 2 + 2sin^2(A))/2 = 9sqrt(2 - 2 + 29/16)/2 = 9sqrt(18/16)/2 = 93/4/sqrt(2) = 6sqrt(2).

Подставляем это значение в площадь треугольника, и получаем 13.5 = 6sqrt(2)(x/2) = 3sqrt(2)x.

Отсюда x = 13.5/(3sqrt(2)) = 13.5/3/sqrt(2) = 4.5/sqrt(2) = 4.5sqrt(2)/2 = 2.25sqrt(2).

Таким образом, третья сторона треугольника равна 2.25sqrt(2).