Через две образующие конуса,угол между которыми равен альфа,проведено сечение,пересекающие основания конуса по хорде длиной А. Найдите объем конуса,если угол между его образующей и высотой равен бета.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть R — радиус основания конуса, H — его высота.

Так как сечение пересекает основание конуса по хорде длиной A, то расстояние от центра основания до этой хорды равно радиусу R. Поэтому мы можем нарисовать прямоугольный треугольник с катетом R и гипотенузой A/2, построенный на половине хорды.

Таким образом, у нашего конуса есть два прямоугольных треугольника, средняя линия которых является образующей. Из геометрии следует, что tg(alpha/2) = R/(A/2), откуда R = (A/2) * tg(alpha/2).

Так как угол между образующей и высотой равен beta, то tg(beta) = R/H, откуда H = R / tg(beta) = ((A/2) * tg(alpha/2)) / tg(beta).

Теперь можем найди объем конуса: V = (1/3) pi R^2 H = (1/3) pi ((A/2) tg(alpha/2))^2 (((A/2) tg(alpha/2)) / tg(beta)) = (pi/12) A^2 tg(alpha/2)^3 / tg(beta).

Итак, объем конуса равен (pi/12) A^2 tg(alpha/2)^3 / tg(beta).