В треугольнике ABC AB =8,BC =12, длина высоты ,проведенной к стороне АВ ,равна 10 .Найдите площадь треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона:

Пусть AC = x.

Полупериметр треугольника ABC: p = (AB + BC + AC) / 2 = (8 + 12 + x) / 2 = 10 + x / 2

Площадь треугольника ABC: S = sqrt(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = sqrt(10 2 2 (10 + x / 2)) = sqrt(40 * (10 + x / 2))

Площадь треугольника ABC равна площади прямоугольного треугольника ABC (S = 1/2 AB AC) плюс площадь треугольника ACH (S = 1/2 CH AB), где H - основание высоты, проведенной к стороне AB.

Так как H разделяет AB на две отрезка в отношении 6:2 = 3:1, то AH = 3, HB = 1.

Используя формулу площади треугольника через основание и высоту, находим площадь треугольника ACH: S = 1/2 CH AB = 1/2 10 8 = 40

Площадь треугольника ABC: S = 1/2 AB AC + 1/2 CH AB = 1/2 8 x + 40 = 4x + 40

Площадь треугольника ABC: sqrt(40 * (10 + x / 2)) = 4x + 40

Из этого уравнения найдем x:

sqrt(40 (10 + x / 2)) = 4x + 40
40 (10 + x / 2) = (4x + 40)^2
400 + 40x = 16x^2 + 320x + 1600
16x^2 - 280x - 1200 = 0
x = 15 или x = -5/4 (отрицательное значение не подходит)

Итак, AC = 15

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

S = sqrt(40 (10 + 15 / 2)) = sqrt(40 17.5) = sqrt(700) = 10(sqrt(7))

Ответ: S = 10(sqrt(7))