Дано: треугольник ABC, AB=BC (см. рис. ), M,N и D-точки касания сторон и вписанной окружности; АМ=5 см, МВ=8 см. Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) радиус вписанной окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку AB=BC, то угол ABC равен углу BAC. Так как AM и BN - высоты треугольника ABC, то треугольники ABM и ABC подобны
Из подобия треугольников ABM и ABC можно составить пропорцию
AB/AM = BC/B
AB/5 = BC/(BC - BN
AB/5 = BC/(BC - 8
AB = 5BC/(BC - 8
AB = 5/((1 - 8/BC
AB = 5/(1 - 8/(BCBC)) = 5/(1 - 64/(BCBC)
AB = 5/(BCBC - 64
Подставляем AB = BC в пропорци
BC/8 = BC/(BCBC - 64
BCBC - 64 = 8B
BCBC - 8*BC - 64 =
(BC - 4)(BC + 16) =
BC =
AB =
Таким образом, AB=BC=4, AC=
Периметр треугольника ABC равен 4+4+8 = 16 см

б) По формуле радиуса вписанной окружности: r= p/(p-a+b), где p-полупериметр треугольника
p=16/2=
r= 8/(8-4+4)=8/8=
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 1 см.