В прямом параллелепипеде ABCDA'B'C'D' стороны основания AB=3см, AD=8см, а угол между ними равен 60°. Площадь диагонального сечения BB'D'D равна 70(кв.см). Определите боковую поверхность параллелепипеда.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим треугольник BBD'.

Пусть точка M - середина диагонали DD', тогда BD' = 2 BM (по свойству медианы треугольника)
Также из условия BB' = 3 см и угол между сторонами AB и AD равен 60°, получаем, что BD' = 3 sqrt(3) (по теореме косинусов в треугольнике BBD')
Площадь треугольника BBD' равна S = (1/2) BD' BM = (3 sqrt(3) / 2) BM.

Теперь посмотрим на диагональное сечение BB'D'D. Мы знаем, что площадь этого сечения равна 70 кв.см
S = S((BB'D'D') = S(BBD') + S(DD'M) = 70
Заменим S(BBD') на выражение (3 sqrt(3) / 2) BM
(3 sqrt(3) / 2) BM + S(DD'M) = 70.

Теперь найдем площадь DD'M. Мы знаем, что BM = MD', так как M - середина DD'
S(DD'M) = (1/2) BM DD' = (BM/2) * BD' = BD'^2 / 4.

Подставляем это в наше уравнение
(3 sqrt(3) / 2) BM + BD'^2 / 4 = 70
(3 sqrt(3) / 2) BM + BD'^2 / 4 = 70
(3 sqrt(3) / 2) BM = 70 - BD'^2 / 4 = 70 - (3 sqrt(3))^2 / 4 = 70 - 9 / 4 = 70 - 2.25 = 67.75
BM = 2 BD' / sqrt(3) = 6 / sqrt(3) = 2 * sqrt(3).

Таким образом, боковая поверхность параллелепипеда равна 2 S(BD'D') = 2 BB' BD' = 2 3 3 sqrt(3) = 18 * sqrt(3) см^2.