В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3 считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку $F$ как точку деления ребра $BB_1$ и найдем координаты точки $F$.

Так как точка $F$ делит ребро $BB_1$ в отношении 2:3, то координаты точки $F$ можно найти, деля отрезок $BB_1$ в соответствии с отношением.

Координаты точек $B$ и $B_1$:
$B (0, 0, 0)$,
$B_1 (6, 0, 0)$.

Тогда координаты точки $F$ можно найти по следующей формуле:
$$F(x, y, z) = \left(\frac{3}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 6, \frac{3}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0, \frac{3}{5} \cdot 0 + \frac{2}{5} \cdot 0\right) = (2.4, 0, 0)$$

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $F$ и $C_1$. Это уравнение будет иметь вид:
$$Ax + By + Cz + D = 0.$$

Подставим координаты точек $A$, $F$ и $C_1$ в это уравнение и найдем коэффициенты $A$, $B$, $C$ и $D$.

$A \cdot 0 + B \cdot 4 + C \cdot 0 + D = 0 \quad \Rightarrow 4B + D = 0$,
$A \cdot 2.4 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0 \quad \Rightarrow 2.4A + D = 0$,
$A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0 \quad \Rightarrow D = 0$.

Отсюда получаем, что $D = 0$, $B = -1$ и $A = -\frac{2.4}{4} = -0.6$.

Теперь у нас есть уравнение плоскости: $-0.6x - y = 0$, после приведения к общему виду получаем $3x + 5y = 0$.

Площадь сечения параллелепипеда с плоскостью $3x + 5y = 0$ равна площади треугольника со сторонами, равными проекциям ребер $BC$, $AF$ и $CB_1$ на эту плоскость.
Вычислим проекции:

Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AF = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{41} \cdot 2.4 \approx 6.43$.

Итак, площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$, $F$ и $C_1$, составляет приблизительно 6.43.