В треугольнике ABC на стороне BC , как на диаметре построена окружность , пересекающая сторону BA в точке M . найти отношение S треугольника ABC и треугольника BCM , если AC = 15 , BC = 20 , угол ABC = углу ACM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диаметра окружности со стороной BA как N.

Так как угол ABC равен углу ACM, то угол BCM также равен углу BCM, то есть треугольники ABC и BCM подобны.

Из подобия треугольников ABC и BCM следует, что отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения длин сторон, соответствующих этим треугольникам. То есть:

S(ABC) / S(BMC) = (AB² / BM²)

Из построения следует, что треугольник ABN – равносторонний, поэтому AN = AB, а также углы BAM и NCM равны, так как они вертикальные.

Также из равенства треугольников ABC и BMC следует, что угол ABN равен углу BCM и углу CNM.

Таким образом, треугольники ABM и MNC подобны и можем записать:

(15 / MN)² = 20 / (20 + MN)

MN = 10

Теперь зная все стороны треугольника ABN, мы можем выразить его площадь через формулу:

S(ABC) = (15 20 sin(60)) / 2 = 150

А также площадь треугольника BMC:

S(BMC) = (10 20 sin(60)) / 2 = 100

Итак, отношение S(ABC) к S(BMC) равно 150/100 = 1.5.