Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть прямоугольный треугольник ABC имеет гипотенузу AC, высоту из вершины C, опущенную на гипотенузу - H, и катеты AB и BC.

Пусть точка D - основание высоты H на гипотенузе AC. Тогда треугольники ADB и BDC подобны треугольнику ABC по признаку угловой замене (т.к. у них общий угол D, вертикальный угол в треугольнике ABC и прямой угол в треугольниках ADB и BDC).

Тогда AD/DB = AB/BC и CD/DB = BC/AB (из подобия треугольников). Умножим эти равенства:

ADCD/(DB)^2 = (ABBC)/(BCAB)
ADCD = (DB)^2

Отсюда получаем, что AD*DC = (DB)^2 - то есть треугольник ADB оказывается подобным треугольнику CBD, что и требовалось доказать.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.