2. АВСDA1B1C1D1 – правильная призма. АВ = 6см, АА1= 8см. Найти угол между прямыми АА1 и ВС; площадь полной поверхности призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угла между прямыми АА1 и ВС воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АА1В:

(АВ)^2 = (АА1)^2 + (ВС)^2
6^2 = 8^2 + (ВС)^2
36 = 64 + (ВС)^2
(ВС)^2 = 36 - 64
(ВС)^2 = 28
ВС = √28
ВС = 2√7

Теперь найдем угол между прямыми АА1 и ВС, используя косинус угла:

cos(угол) = (АА1^2 + ВС^2 - АВ^2) / (2 АА1 ВС)
cos(угол) = (8^2 + (2√7)^2 - 6^2) / (2 8 2√7)
cos(угол) = (64 + 28 - 36) / (16√7)
cos(угол) = 56 / (16√7)
cos(угол) = 7 / (2√7)
cos(угол) = √7 / 2

Угол между прямыми АА1 и ВС будет arccos(√7 / 2), что примерно равно 28.96 градусов.

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы. Полная поверхность призмы состоит из двух оснований (периметр умноженный на высоту) и 4 боковых граней (площадь боковой грани равна полупериметру умноженному на образующее):

Полупериметр основания: p = (6 + 2√7) / 2 = 3 + √7
Высота призмы: h = AA1 = 8
Периметр основания: P = 2 6 + 2 2√7 = 12 + 4√7
Площадь основания: S1 = P h = (12 + 4√7) 8 = 96 + 32√7
Площадь всех боковых граней: S2 = p h 4 = (3 + √7) 8 4 = 128 + 32√7

Таким образом, общая площадь поверхности призмы равна S = 96 + 32√7 + 128 + 32√7 = 224 + 64√7 кв.см.