Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее апофема 4 см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен 30(градусов).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам необходимо найти боковую площадь и площадь основания пирамиды.

Рассмотрим боковую поверхность пирамиды. Построим боковую грань пирамиды - равнобедренный треугольник с углом 30 градусов между апофемой и высотой пирамиды. Зная апофему и угол между апофемой и высотой, можно найти длину каждой из боковых сторон равнобедренного треугольника по формуле
a = 2 apofema sin(30°) = 2 4 sin(30°) = 4 см.

Найдем площадь основания пирамиды. Обозначим через b длину стороны основания. Разобьем основание пирамиды на два равносторонних треугольника, каждый из которых дает нам проекцию боковой грани пирамиды. Тогда длина стороны основания пирамиды равна
b = 2 a cos(30°) = 2 4 cos(30°) = 6.93 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды
S_бок = 0.5 a b + 3 (0.25 b^2 sqrt(3)) = 0.5 4 6.93 + 3 (0.25 6.93^2 sqrt(3)) = 54.51 см^2.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания
S_полн = S_бок + 4 (0.25 b^2 sqrt(3)) = 54.51 + 4 (0.25 6.93^2 sqrt(3)) = 101.44 см^2.

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет 101.44 см^2.