На основании равнобедренного треугольника построен правильный треугольник, площадь которого в 3 раза больше плошади данного.Найдите углы равнобедренного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы равнобедренного треугольника равны x, x и 2y (где y - угол правильного треугольника).

Так как площадь правильного треугольника в 3 раза больше площади равнобедренного, то:

(1/2)a^2sin(2y) = 3(1/2)a^2sin(x)cos(x)
где a - сторона равнобедренного треугольника.

Очевидно, что равнобедренный треугольник можно разложить на два равнобедренных треугольника, у которых угол вершина равен 2y. Таким образом угол основания одного из этих треугольников будет равен x, и мы можем написать
(1/2)a^2sin(2y) = 2(1/2)a^2sin(x)cos(x)
(1/2)a^2sin(2y) = a^2sin(x)cos(x)
sin(2y) = 2sin(x)cos(x)
sin(2y) = sin(2x).

Из этого равенства можно найти x, деля обе части уравнения на 2
2y = 2x
x = y.

Таким образом, углы равнобедренного треугольника равны x, x и 2x, а следовательно равны 60, 60 и 120 градусов.